Motivatie

Wavelettheorie is een zeer geavanceerd interdisciplinair onderzoeksgebied, dat zich uitstrekt van pure wiskunde tot zeer toegepaste techniek. Het is enorm nuttig gebleken voor toegepaste wiskunde en engineering zoals bijvoorbeeld beeldverwerking (JPEG 2000), EEG- en ECG-analyses, DNA-analyse, klimatologie, spraakherkenning, computervisie, etc., maar ook in pure wiskunde. Onder de oprichters hebben de wiskundigen Ingrid Daubechies (uit Limburg) en Yves Meyer belangrijke theoretische bijdragen geleverd die relevant zijn voor veel gebieden van de wiskunde, in het bijzonder voor de harmonische analyse en de theorie van partiële differentiaalvergelijkingen (PDE-theorie), waarop dit onderzoeksproject zich richt. De betekenis van de resultaten van Daubechies en Meyer wordt weerspiegeld in de talrijke prestigieuze prijzen en onderscheidingen die ze hebben ontvangen, bijvoorbeeld de American Mathematical Society Steele Prize (Daubechies), de National Academy of Sciences Award in Mathematics (Daubechies) en de Abel-prijs (Meyer) .

FWO Senior Research Grant G022821N: Niet-commutatieve wavelet analyse

4-jarig project: 1 januari 2021 – 31 december 2024

Hoofdonderzoeker: Michael Ruzhansky

Gefinancierde waarde: €446,968

Postdoctoraal onderzoeker: David Rottensteiner

In dit onderzoeksproject werken we aan het bevorderen van de theorie van wavelets en de toepassing ervan op wiskundige analyse, in het bijzonder Calderón-Zygmund-operatoren en pseudo-dfferentiële operatoren, in de niet-commutatieve setting, dat wil zeggen buiten de klassieke theorie in de Euclidische ruimte R ^ n . Onze interesse verbindt specifiek de werken van Daubechies en Meyer met fundamentele resultaten in harmonische analyse en PDE-theorie door Elias Stein (oorspronkelijk uit Antwerpen), Charles Fefferman (een Fields-medaillewinnaar) en Gerald Folland. In het bijzonder zijn we van plan om enkele van hun fundamentele resultaten op het gebied van harmonische analyse en PDE-theorie beschikbaar te maken in de setting van gegradeerde Lie-groepen. Het onderzoeksproject valt uiteen in drie delen:

Deel I: Wavelet frames en functieruimten

Hier richten we ons op het opstellen van een theorie van wavelets op  gestratificeerde Lie-groepen buiten de setting van gestratificeerde Lie-groepen. De theorie van Rockland operatoren over gegradeerde Lie-groepen is cruciaal om enerzijds concrete voorbeelden te geven van orthonormale wavelet-bases in de geest van Lemarié’s benadering van meerdere oplossingen [Lem89], en het bestaan van handige frames die wavelets genereren zoals in Führ en Mayeli [FM12] ], aan de andere kant. Net als bij R ^ n is het bij toepassingen van bijzonder belang om waveletframes te verschaffen waarvan de duale frames systemen van waveletmoleculen zijn. Voor niet-gegradeerde homogene Lie-groepen, d.w.z. precies die homogene Lie-groepen die geen positieve Rockland-operator toelaten, moeten volledig nieuwe strategieën worden ontwikkeld. Elke vooruitgang in deze richting zal ons begrip van harmonische analyse van homogene Lie-groepen aanzienlijk verdiepen.

Deel II: Calderón-Zygmund-operators en regelmatigheidseigenschappen

Het tweede deel is voornamelijk gecentreerd rond de werken van Meyer, maar met een sterke focus ook op de recente resultaten van Hytönen enerzijds, en Frazier en Jawerth’s op wavelet gebaseerde bewijs van Hörmander’s vermenigvuldigingsstelling, anderzijds. De veralgemening van de instelling van het T (1) -theorema naar homogene Lie-groepen is reeds vastgesteld. Sommige analyses zijn gebaseerd op de technieken van de Hardy-ruimte H1 en zijn duale ruimte BMO op homogene Lie-groepen, zoals in de klassieke monografie Folland en Stein [FS82], Calderón-Zygmund operatoren op homogene groepen zoals in de monografie Fischer en Ruzhansky [FR16]. Er kan worden vermeld dat de begrenzing van Calderón-Zygmund-operatoren op  gestratificeerde Lie-groepen van 𝐻 ^ 1 tot 𝐿 ^ 1 en van 𝐿 ^ {\ infity} tot BMO in het speciale geval van pseudo-differentiaaloperatoren onlangs werd vastgesteld door (niet- wavelet-methoden) in Cardona, Delgado en Ruzhansky [CDR19]: in feite volgt het daar uit de succesvolle generalisatie van Feffermans scherpere resultaat [Fef73] over de begrenzing van pseudo-differentiaaloperatoren op Hardy-ruimtes en 𝐿 ^ p-ruimtes.

Deel III: niet-commutatieve Weyl-kwantisering

Hoewel de analyse van pseudo-differentiaaloperatoren een enorm potentieel biedt voor het gebruik van wavelets, zijn Gabor-frames het geschikte hulpmiddel om evolutievergelijkingen voor differentiële en pseudo-differentiële operatoren op R ^ n te bestuderen (zie bijv. [CTW13, CNR15]). Recente vooruitgang op het gebied van “gegeneraliseerde tijdfrequentie-analyse” op nilpotente groepen, in het bijzonder orthonormale bases en frames (zie [GR18, Ous18, Ous19, GRRV19], koppelt de technieken uit de frametheorie aan de niet-commutatieve technieken van pseudo-differentiaaloperatoren.

Referenties:
[AR20] R. Akylzhanov and M. Ruzhansky. Lp-Lq multipliers on locally compact groups. J. Funct. Anal., 278(3):108324, 49, 2020.
[BPV19] T. Bruno, M. M. Peloso, and M. Vallarino. Besov and Triebel-Lizorkin spaces on Lie groups. Mathematische Annalen, 377, 355-377, 2020.
[CDR19] D. Cardona, J. Delgado, and M. Ruzhansky. Lp-Bounds for Pseudo-Differential Operators on Graded Lie Groups. Preprint, 2019.
[CNR15] E. Cordero, F. Nicola, and L. Rodino. Gabor representations of evolution operators. Trans. Amer. Math. Soc., 367(11):7639-7663, 2015.
[CTW13] E. Cordero, A. Tabacco, and P. Wahlberg. Schrödinger-type propagators, pseudodifferential operators and modulation spaces. J. Lond. Math. Soc. (2), 88(2):375-395, 2013.
[Fef73] C. Fefferman. Lp bounds for pseudo-differential operators. Israel J. Math., 14:413-417, 1973.
[FM12] H. Führ and A. Mayeli. Homogeneous Besov spaces on stratified Lie groups and their wavelet characterization. J. Funct. Spaces Appl., pages Art. ID 523586, 41, 2012.
[FR16] V. Fischer and M. Ruzhansky. Quantization on nilpotent Lie groups, volume 314 of Progress in Mathematics. Birkhäuser/Springer, [Cham], 2016.
[FS82] G. B. Folland and E. M. Stein. Hardy spaces on homogeneous groups, volume 28 of Mathematical Notes. Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1982.
[GR18] K. Gröchenig and D. Rottensteiner. Orthonormal bases in the orbit of square-integrable representations of nilpotent Lie groups. J. Funct. Anal., 275(12):3338-3379, 2018.
[GRRV19] K. Gröochenig, J. L. Romero, D. Rottensteiner, and J. T. v. Velthoven. Balian-Low type theorems on homogeneous groups. Analysis Mathematica, 46, 483-515, 2020.
[Lem89] P. G. Lemarié. Base d’ondelettes sur les groupes de Lie stratifiés. Bull. Soc. Math. France, 117(2):211-232, 1989.
[Mar11] A. Martini. Spectral theory for commutative algebras of differential operators on Lie groups. J. Funct. Anal., 260(9):2767-2814, 2011.
[Ous18] V. Oussa. Frames arising from irreducible solvable actions I. J. Funct. Anal., 274(4):1202-1254, 2018.
[Ous19] V. Oussa. Compactly supported bounded frames on Lie groups. J. Funct. Anal., 277(6):1718-1762, 2019.
[tER98] A. F. M. ter Elst and D. W. Robinson. Weighted subcoercive operators on Lie groups. J. Funct. Anal., 157(1):88-163, 1998.