FWO Research Project: Pseudo-differential Operators on Homogeneous Manifolds



Pseudo-differential operators can be considered as a natural extension of linear partial differential operators. The study of pseudo-differential operators grew out of research on singular integral operators with roots entwined deep down to solving differential equations. The theory of pseudo-differential operators has seen a great advancement in its own development as well as its applications to the number of fields such as partial differential equations, quantum physics, spectral theory, number theory and engineering [Hör85, Str06].  Among the most influenced predecessors of the theory of pseudo-differential operators one can mention Mikhlin, Calderón and Zygmund, Weyl, Hӧrmander, Kohn and Nirenberg. A major landmark was set in ca. 1963, when Atiyah and Singer [AS63] presented their celebrated index theorem; they used certain operators which nowadays are recognised as pseudo-differential operators. Atiyah-Singer index theorem is also tied to the advent of K-theory, a significant field of study in itself. In 1985, Mikhail Agranovich [Agr84] presented an appealing formulation of pseudo-differential operators on the unit circle using Fourier series. Hence, the independent study of pseudo-differential operators was initiated using Fourier analysis technique on groups. Later, McLean [McL91] proved the equivalence of global and local definitions of pseudo-differential operators. By then, the global definition of pseudo-differential operators was widely adopted to and used by Agranovich, Amosov, Elschner, Bourgain, Fefferman, Taylor, Rodino, Wong and many others. The idea of global quantization on Lie groups can be tracked back to M. E. Taylor [Tay84] in 1984, who used the exponential mapping to rely on pseudo-differential operators on the Lie algebra which can be viewed as the Euclidean space with the corresponding standard theory of pseudo-differential operators. in our book [RT10], we developed the (Kohn-Nirenberg) calculus of global pseudo-differential operators on compact Lie groups using the representation theory of compact Lie groups and non-commutative Fourier analysis (see also, [Fis15]). One of the main advantages of this approach was that it recovered the full global symbols compared with only principal symbols available in the standard theory via localisations.

FWO Senior Research Grant G011522N: Pseudo-differential operators on homogeneous manifolds

4-year project: 1 Jan 2022 – 31 Dec 2025

Principal Investigator: Michael Ruzhansky

Funded Value: €463,500

The main aim of this project is to develop the global symbolic calculus to study regularity properties for pseudo-differential operators on homogeneous manifolds, with applications to partial differential equations (PDEs). The development will heavily be based on Fourier analysis on homogeneous manifolds and the representation theory of semisimple Lie groups. The research program splits into three parts.

Part 1: Pseudo-differential operators on compact homogeneous manifolds

This part of the project will focus on establishing the global pseudo-differential operators on general compact homogeneous manifolds beyond the setting of specific homogeneous spaces or compact Lie groups.  The global theory of pseudo-differential calculus on compact Lie groups was developed in our book with Turunen [RT10] and was recently extended to sub-Riemannian setting [CR21] with Cardona.  In the last chapter of book with Turunen [RT10], we presented some basic hints to define symbol classes and this idea was explored in detail by Connolly [Con14]. Despite these efforts, the question to define “good” global Hӧrmander symbol classes on compact homogeneous manifolds is still open. In this part, we will develop define the “good” symbolic classes and develop global symbolic calculus along with a global functional calculus and mapping properties [Fef73, DR19] for global pseudo-differential operators on compact homogeneous manifolds.  

Part 2: Pseudo-differential operators on non-compact homogeneous manifolds (symmetric spaces)

The purpose of this part is to develop a global pseudo-differential calculus for pseudo-differential operators on non-compact homogeneous manifolds with extra geometric conditions known as non-compact symmetric spaces [Hel84]. Example of such rank one symmetric spaces are the well-known hyperbolic spaces.  The theoretical foundations of non-compact homogeneous (symmetric) spaces laid by seminal works of Harish Chandra [Har58] and Helgason [Hel84] allow one to develop the non-Euclidean counterpart of the Euclidean analysis. A very few works are known which deal with pseudo-differential calculus on non-compact Riemannian symmetric spaces. Zelditch [Zel86] developed pseudo-differential calculus on hyperbolic surfaces. Masson [Mas14] obtained a discrete version of the Zelditch calculus for homogeneous trees. Tate investigated Weyl quantization and Weyl calculus on Poincaré disk [Tat02] and later, Twareque Ali and Engliš [TE11] extended this to rank one symmetric spaces of non-compact types.  After the development of symbolic calculus, we intend to explore mapping properties of pseudo-differential operators on symmetric spaces. The boundedness of Fourier multipliers was explored in seminal works [CS74, Ank90, CGM93, Ion02, Ion03, CMW19, MOV19] of several eminent mathematicians including Clerc, Stein, Cowling, Anker, Mauceri, Meda and Ionescu, which give a deep insight and machineries to handle these singular integrals occurring when dealing with boundedness of Fourier multipliers on non-compact symmetric spaces. 

Part 3: Applications to (nonlinear) partial-differential equations (PDEs)

This part will be mainly centered around establishing some fundamental inequalities used to study wellposedness and solvability of PDEs. In particular, we will be interested in proving Gårding inequality, sharp Gårding inequality and Fefferman-Phong inequality [FP78] on compact homogenous manifolds as well as on symmetric spaces of non-compact type. The sharp Garding inequality for compact was proved in [RT11]. This part will be partly based on tools developed in other parts. 


[Agr84] M. S. Agranovich. Elliptic pseudodifferential operators on a closed curve. (Russian) Trudy Moskov. Mat. Obshch., 47, 22-67, 1984.

[Ank90] J.-P. Anker. -Fourier multipliers on Riemannian symmetric spaces of the noncompact type. Ann. of Math. (2) 132(3), 597–628, 1990.

 [AS63] M. F. Atiyah and I. M. Singer. The index of elliptic operators on compact manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. 69, 422-433 1963.

[CR20] D. Cardona and M. Ruzhansky. Subelliptic pseudo-differential operators and Fourier integral operators on compact Lie groups, 2020. Preprint arXiv:2008.09651.

 [CMW19] D. Celotto, S. Meda and B. Wróbel, – spherical multipliers on homogeneous trees. Studia Math. 247(2), 175–190, 2019.

[CS74] J. L. Clerc and E. M. Stein. -multipliers for noncompact symmetric spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 71, 3911–3912, 1974.

[Con14] D. Connolly. Pseudo-differential Operators on Homogeneous Spaces. PhD Thesis, Imperial College London, Feb-2014.

 [DR19] J. Delgado and M. Ruzhansky.  -bounds for pseudo-differential operators on compact Lie groups. J. Inst. Math. Jussieu 18(3), 531–559, 2019.

[Fef73] C. Fefferman. -bounds for pseudo-differential operators. Israel J. Math., 14:413-417, 1973.

[FP78] C. Fefferman and D. H. Phong. On positivity of pseudo-differential operators. Proc. Nat. Acad.Sci. U.S.A., 75(10), 4673–4674, 1978.

 [FR16] V. Fischer and M. Ruzhansky. Quantization on nilpotent Lie groups, volume 314 of Progress in Mathematics. Birkhäuser/Springer, [Cham], 2016.

[Har58] Harish-Chandra.  Spherical functions on a semisimple Lie group. I. Amer. J. Math. 80, 241–310, 1958.

[Hel84] S. Helgason, Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions. Pure and Applied Mathematics, 113. Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1984. xix+654 pp.

[Hör65] L. Hörmander. Pseudo-differential operators. Comm. Pure Appl. Math. 18, 501–517, 1965.

[Hör67] L. Hörmander. Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math. 119, 147–171, 1967.

[Hör85] L. Hörmander. The Analysis of the linear partial differential operators Vol. III. Springer-Verlag, 1985.

[Ion02] A. D. Ionescu. Singular integrals on symmetric spaces of real rank one. Duke Math., J. 114(1) (2002), 101–122, 2002.  

[Ion03] A. D.  Ionescu. Singular integrals on symmetric spaces. II. Trans. AMS, 355(8), 3359–3378, 2003.  

[KN65] J. J. Kohn and L. Nirenberg. An algebra of pseudo-differential operators. Comm. Pure Appl. Math. 18, 269–305, 1965.                                                                                                                                                                                              

[Mas14] E. L. Masson. Pseudo-differential calculus on homogeneous trees, Ann. Henri Poincaré, 15, 1697–1732, 2014.

[RT10] M. Ruzhansky and V. Turunen. Pseudo-differential Operators and Symmetries: Background Analysis and Advanced Topics, Birkh ̈auser-Verlag, Basel, 2010.

[RT11] M. Ruzhansky and V. Turunen. Sharp Garding inequality on compact Lie groups. J. Funct. Anal., 260(10):2881-2901, 2011.

[RTW14] M. Ruzhansky, V. Turunen and J. Wirth. Hormander class of pseudo-differential operators on compact Lie groups and global hypoellipticity. J. Fourier Anal. Appl. 20, 476-499, 2014.

[RW14] M. Ruzhansky and J. Wirth.  Global functional calculus for operators on compact Lie groups. J. Funct. Anal. 267(1), 144-172, 2014.

 [RT16] M. Ruzhansky and N. Tokmagambetov. Non harmonic analysis of boundary value problems, Int. Math. Res. Not. IMRN, 123548-3615, 2016.

[Str06] T. Strohmer. Pseudodifferential operators and Banach algebras in mobile communications. Appl. Comput. Harmon. Anal. 20(2), 237–249, 2006.

[Tat02] T. Tate. Weyl pseudo-differential operator and Wigner transform on the Poincaré disk. Ann. Global Anal. Geom. 22(1), 29–48, 2002.

[TE11] S. Twareque Ali and M. Engliš, Wigner transform and pseudodifferential operators on symmetric spaces of non-compact type. J. Phys. A 44 (21), 215206, 17 pp, 2011.

[Tay81] M. E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1981.

[Tay84] M. E. Taylor.  Noncommutative microlocal analysis. I. Mem. Amer. Math. Soc., 52(313), iv+182 pp, 1984..

 [Zel86] S. Zelditch. Pseudo-differential analysis on hyperbolic surface, J. Funct. Anal. 68, 72-105, 1986



Pseudo-differentiaaloperatoren kunnen worden beschouwd als een natuurlijke uitbreiding van lineaire partiële differentiaaloperatoren. De studie van pseudo-differentiaaloperatoren is voortgekomen uit onderzoek naar singuliere integraaloperatoren dat sterk verbonden is met het oplossen van differentiaalvergelijkingen. De theorie van pseudo-differentiaaloperatoren heeft een grote vooruitgang gekend, zowel in haar eigen ontwikkeling als in haar toepassingen op een aantal gebieden zoals partiële differentiaalvergelijkingen, kwantumfysica, spectraaltheorie, getaltheorie en ingenieurswetenschappen [Hör85, Str06].  Onder de meest invloedrijke pioniers van de theorie van pseudo-differentiaaloperatoren bevinden zich Mikhlin, Calderón en Zygmund, Weyl, Hӧrmander, Kohn en Nirenberg. Een belangrijke mijlpaal werd gezet in ca. 1963, toen Atiyah en Singer [AS63] hun beroemde indexstelling presenteerden; zij maakten gebruik van bepaalde operatoren die tegenwoordig bekendstaan als pseudo-differentiaaloperatoren. De Atiyah-Singer indexstelling is ook gelinkt aan de komst van K-theorie, een belangrijk studiegebied op zich. In 1985 presenteerde Mikhail Agranovich [Agr84] een aanlokkelijke formulering van pseudo-differentiaaloperatoren op de eenheidscirkel met behulp van Fourierreeksen. Daarmee werd de onafhankelijke studie van pseudo-differentiaaloperatoren gestart met behulp van technieken uit de Fourieranalyse op groepen. Later bewees McLean [McL91] de equivalentie van globale en lokale definities van pseudo-differentiaaloperatoren. Tegen die tijd werd de globale definitie van pseudo-differentiaaloperatoren op grote schaal overgenomen en gebruikt door Agranovich, Amosov, Elschner, Bourgain, Fefferman, Taylor, Rodino, Wong en vele anderen. Het idee van globale kwantisatie op Lie-groepen kan worden teruggevoerd tot M. E. Taylor [Tay84] in 1984, die de exponentiële afbeelding gebruikte om te steunen op pseudo-differentiaaloperatoren op de Lie-algebra, die kan worden gezien als de Euclidische ruimte met de bijbehorende standaardtheorie van pseudo-differentiaaloperatoren. In ons boek [RT10] hebben wij de (Kohn-Nirenberg) calculus van globale pseudo-differentiaaloperatoren op compacte Lie-groepen ontwikkeld met behulp van de representatietheorie van compacte Lie-groepen en niet-commutatieve Fourieranalyse (zie ook [Fis15]). Een van de belangrijkste voordelen van deze aanpak was dat de volledige globale symbolen werden teruggevonden, terwijl enkel hoofdsymbolen beschikbaar zijn in de standaardtheorie via lokalisaties.

Het hoofddoel van dit project is de ontwikkeling van de globale symbolische calculus om regulariteitseigenschappen te bestuderen voor pseudo-differentiaaloperatoren op homogene variëteiten G/K, met toepassingen voor partiële differentiaalvergelijkingen (PDV’s). De ontwikkeling zal in belangrijke mate gebaseerd zijn op Fourieranalyse op homogene variëteiten en de representatietheorie van half-enkelvoudige Lie-groepen. Het onderzoeksprogramma kan onderverdeeld worden in drie delen.

WP1: Pseudo-differentiaaloperatoren op compacte homogene variëteiten

Dit deel van het project zal zich toespitsen op de opbouw van globale pseudo-differentiaaloperatoren op algemene compacte homogene variëteiten G/ K buiten de setting van specifieke homogene ruimten of compacte Lie-groepen.  De globale theorie van pseudo-differentiële calculus op compacte Lie-groepen werd ontwikkeld in ons boek met Turunen [RT10] en werd recent uitgebreid tot de sub-Riemanniaanse setting [CR21] met Cardona.  In het laatste hoofdstuk van het boek met Turunen [RT10] gaven we enkele hints om symboolklassen te definiëren en dit idee werd in detail uitgediept door Connolly [Con14]. Ondanks deze inspanningen is de vraag om “goede” globale Hӧrmander-symboolklassen te definiëren op compacte homogene variëteiten nog steeds open. In dit deel zullen we de “goede” symboolklassen definiëren en globale symbolische calculus ontwikkelen samen met een globale functionele calculus en afbeeldingseigenschappen [Fef73, DR19] voor globale pseudo-differentiaaloperatoren op compacte homogene variëteiten.

WP2: Pseudo-differentiaaloperatoren op niet-compacte homogene variëteiten (symmetrische ruimten)

Het doel van dit deel is om een globale pseudo-differentiële calculus te ontwikkelen voor pseudo-differentiaaloperatoren op niet-compacte homogene variëteiten met extra meetkundige voorwaarden, die bekendstaan als niet-compacte symmetrische ruimten [Hel84]. Een voorbeeld van zulke rang 1 symmetrische ruimten zijn de welgekende hyperbolische ruimten. De theoretische grondslagen van niet-compacte homogene (symmetrische) ruimten, die gelegd zijn door het baanbrekende werk van Harish Chandra [Har58] en Helgason [Hel84], maken het mogelijk de niet-Euclidische tegenhanger van de Euclidische analyse te ontwikkelen. Er zijn slechts enkele werken bekend over pseudo-differentiële calculus op niet-compacte Riemanniaanse symmetrische ruimten. Zelditch [Zel86] ontwikkelde pseudo-differentiële calculus op hyperbolische oppervlakken. Masson [Mas14] verkreeg een discrete versie van de Zelditch-calculus voor homogene bomen. Tate onderzocht Weyl kwantisatie en Weyl calculus op de Poincaré schijf [Tat02], en later hebben Twareque Ali en Engliš [TE11] dit uitgebreid tot rang 1 symmetrische ruimten van niet-compacte types.  Na de ontwikkeling van de symbolische calculus willen we de eigenschappen van pseudo-differentiaaloperatoren op symmetrische ruimten onderzoeken. De begrensdheid van Fourier-multiplicatoren is onderzocht in baanbrekende werken [CS74, Ank90, CGM93, Ion02, Ion03, CMW19, MOV19] van verschillende vooraanstaande wiskundigen, waaronder Clerc, Stein, Cowling, Anker, Mauceri, Meda en Ionescu, die een diep inzicht hebben gegeven in de singuliere integralen die optreden bij de begrensdheid van Fourier-multiplicatoren op niet-compacte symmetrische ruimten, en die de nodige mechanismen aanreiken om die integralen te behandelen. 

WP3: Toepassingen bij (niet-lineaire) partiële differentiaalvergelijkingen (PDV’s)

Dit deel zal voornamelijk gericht zijn op het opstellen van enkele fundamentele ongelijkheden die gebruikt worden om de goedgesteldheid en oplosbaarheid van PDV’s te bestuderen. In het bijzonder zullen we geïnteresseerd zijn in het bewijzen van de Gårding ongelijkheid, de scherpe Gårding ongelijkheid en de Fefferman-Phong ongelijkheid [FP78] op zowel compacte homogene variëteiten als op symmetrische ruimten van het niet-compacte type. De scherpe Gårding ongelijkheid voor het compacte geval werd bewezen in [RT11]. Dit deel zal gedeeltelijk gebaseerd zijn op technieken ontwikkeld in WP1 en WP2.