Belgian Project PI:  Michael Ruzhansky (UGent)
Belgian Project Co-PI: Vishvesh Kumar (UGent)

Main Brazilian bilateral partner institution: University of Sao Paulo at Sao Carlos
Brazilian Project PI: Paulo Dattori da Silva
Brazilian Project Co-PI: Gabriel Cueva Candido Soares de Araújo 

Title: Global Hypoellipticity and Solvability on Product Manifolds
(in Dutch: Globale hypoellipticiteit en oplosbaarheid op productvariëteiten)

Abstract

We propose to investigate global properties of certain systems of partial differential equations of geometric importance, on spaces known as tube structures, or the product manifolds. They are constitued by systems of vector fields with symmetries that can be studied via Fourier analysis. Our aim is to determine necessary and/or sufficient conditions for their solvability, and for the regularity of their solutions, when the ambient space is a so-called Lie group, which encode extra symmetries of the equations and their solutions. Certain second-order operators associated with such systems (known as sub-Laplacians, or sums-of-squares of vector fields) will also be investigated from this point of view, since their properties are related, and also connect the former systems with applications. Both the general theory as well as concrete special cases will be studied. We will be addressing questions of fundamental importance for these systems, such as the hypoellipticity and solvability of the corresponding system of partial differential equations.

The project will combine in a unique way the expertise of the Brazilian team on hypoellipticity and solvability of partial differential operators, with the expertise of the Belgian team on different aspects of the noncommutative Fourier analysis and the theory of pseudo-differential operators on Lie Groups.

Abstract in Dutch

Wij stellen voor om de globale eigenschappen te onderzoeken van bepaalde stelsels van partiële differentiaalvergelijkingen van meetkundig belang, op ruimten die bekend staan als buisstructuren (tube structures), of productvariëteiten. Deze worden gevormd door stelsels van vectorvelden met symmetrieën die bestudeerd kunnen worden met behulp van Fourieranalyse. Ons doel is het bepalen van nodige en/of voldoende voorwaarden voor hun oplosbaarheid, en voor de regulariteit van hun oplossingen, wanneer de omgevingsruimte een zogenaamde Lie-groep is die extra symmetrieën van de vergelijkingen en hun oplossingen codeert. Bepaalde tweede-orde operatoren die met dergelijke stelsels geassocieerd zijn (bekend als sub-Laplacianen, of kwadratensommen van vectorvelden) zullen eveneens vanuit dit oogpunt worden onderzocht, aangezien hun eigenschappen hiermee verband houden en ze de eerder genoemde stelsels ook verbinden met toepassingen. Zowel de algemene theorie als concrete bijzondere gevallen zullen worden bestudeerd. We zullen vragen van fundamenteel belang voor deze stelsels behandelen, zoals de hypo-ellipticiteit en de oplosbaarheid van het bijbehorende stelsel van partiële differentiaalvergelijkingen.

Het project zal op unieke wijze de expertise van het Braziliaanse team op het gebied van hypo-ellipticiteit en oplosbaarheid van partiële differentiaaloperatoren combineren met de expertise van het Belgische team in verschillende aspecten van de niet-commutatieve Fourieranalyse en de theorie van pseudo-differentiaaloperatoren op Lie-groepen.

---

International Collaboration:

The aim of this project is to take this collaboration much deeper, with an ambitious and far-reaching project, drawing heavily on the expertise of both teams. One can easily argue that without such collaboration, the resolution of the proposed problems would be much harder, if not impossible.

The collaboration will have several most important consequences: apart from the research progress, the dissemination of techniques will be of utmost value. The Brazilian community will have an excellent chance of getting more familiar with compact Lie groups techniques, while the Belgian team will greatly benefit from the knowledge on hypoelliptiticy and solvability problems accumulated in Brazil.